Leçon parascolaire - module de nombres. Résolution d'inégalités avec module Signification géométrique du module

Module des nombres ce nombre lui-même est appelé s'il est non négatif, ou le même nombre avec le signe opposé s'il est négatif.

Par exemple, le module du nombre 5 est 5, et le module du nombre –5 est également 5.

C'est-à-dire que le module d'un nombre s'entend comme la valeur absolue, la valeur absolue de ce nombre sans tenir compte de son signe.

Noté comme suit : |5|, | X|, |UN| etc.

Règle:

Explication:

|5| = 5
Cela se lit comme ceci : le module du nombre 5 est 5.

|–5| = –(–5) = 5
Cela se lit comme ceci : le module du nombre –5 est 5.

|0| = 0
Cela se lit comme ceci : le module de zéro est nul.

Propriétés des modules :

Signification géométrique du module.

Le module d'un nombre est la distance de zéro à ce nombre.

Par exemple, reprenons le chiffre 5. La distance de 0 à 5 est la même que de 0 à –5 (Fig. 1). Et quand il est important pour nous de connaître uniquement la longueur du segment, alors le signe a non seulement un sens, mais aussi un sens. Cependant, ce n’est pas tout à fait vrai : nous mesurons la distance uniquement avec des nombres positifs – ou des nombres non négatifs. Supposons que le prix de division de notre échelle soit de 1 cm. Ensuite, la longueur du segment de zéro à 5 est de 5 cm, de zéro à –5 est également de 5 cm.

Dans la pratique, la distance est souvent mesurée non seulement à partir de zéro - le point de référence peut être n'importe quel nombre (Fig. 2). Mais cela ne change rien au fond. Notation de la forme |a – b| exprime la distance entre les points UN Et b sur la droite numérique.

Exemple 1. Résoudre l'équation | X – 1| = 3.

Solution .

La signification de l'équation est que la distance entre les points X et 1 est égal à 3 (Fig. 2). Par conséquent, à partir du point 1, nous comptons trois divisions à gauche et trois divisions à droite - et nous voyons clairement les deux valeurs X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Nous pouvons le calculer.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Répondre : X 1 = –2; X 2 = 4.

Exemple 2. Module Rechercher une expression :

Solution .

Voyons d’abord si l’expression est positive ou négative. Pour ce faire, nous transformons l'expression pour qu'elle soit constituée de nombres homogènes. Ne cherchons pas la racine de 5, c'est assez difficile. Faisons plus simple : élevons 3 et 10 à la racine. Comparons ensuite la grandeur des nombres qui composent la différence :

3 = √9. Donc 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

On voit que le premier nombre est inférieur au second. Cela signifie que l'expression est négative, c'est-à-dire que sa réponse est inférieure à zéro :

3√5 – 10 < 0.

Mais selon la règle, le module d'un nombre négatif est le même nombre de signe opposé. Nous avons une expression négative. Par conséquent, il est nécessaire de changer son signe pour le signe opposé. L’expression opposée pour 3√5 – 10 est –(3√5 – 10). Ouvrons les parenthèses et obtenons la réponse :

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Répondre .

Objectifs de la leçon

Initier les écoliers à un concept mathématique tel que le module d'un nombre ;
Enseigner aux écoliers les compétences nécessaires pour trouver des modules de nombres ;
Renforcer la matière apprise en accomplissant diverses tâches ;

Tâches

Renforcer les connaissances des enfants sur le module des nombres ;
En résolvant les tâches de test, vérifiez comment les étudiants ont maîtrisé la matière étudiée ;
Continuer à susciter l'intérêt pour les cours de mathématiques ;
Cultiver la pensée logique, la curiosité et la persévérance chez les écoliers.

Plan de cours

1. Concepts généraux et définition du module d'un nombre.
2. Signification géométrique du module.
3. Le module d'un nombre et ses propriétés.
4. Résoudre des équations et des inégalités contenant le module d'un nombre.
5. Informations historiques sur le terme « module d'un nombre ».
6. Devoir pour consolider les connaissances sur le sujet traité.
7. Devoirs.

Concepts généraux sur le module d'un nombre

Le module d'un nombre est généralement appelé le nombre lui-même s'il n'a pas de valeur négative, ou si le même nombre est négatif, mais avec le signe opposé.

Autrement dit, le module d'un nombre réel non négatif a est le nombre lui-même :

Et le module d’un nombre réel négatif x est le nombre opposé :

En enregistrement, cela ressemblera à ceci :

Pour une compréhension plus accessible, donnons un exemple. Ainsi, par exemple, le module du nombre 3 est 3, et le module du nombre -3 est également 3.

Il s'ensuit que le module d'un nombre désigne une valeur absolue, c'est-à-dire sa valeur absolue, mais sans tenir compte de son signe. Pour le dire encore plus simplement, il faut supprimer le signe du numéro.

Le module d'un nombre peut être désigné et ressembler à ceci : |3|, |x|, |a| etc.

Ainsi, par exemple, le module du nombre 3 est noté |3|.

Aussi, il faut rappeler que le module d'un nombre n'est jamais négatif : |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12h45, etc.

Signification géométrique du module

Le module d'un nombre est la distance mesurée en segments unitaires de l'origine au point. Cette définition révèle le module d'un point de vue géométrique.

Prenons une ligne de coordonnées et désignons deux points dessus. Laissez ces points correspondre à des nombres tels que −4 et 2.

Faisons maintenant attention à ce chiffre. On voit que le point A, indiqué sur la ligne de coordonnées, correspond au chiffre -4, et si vous regardez bien, vous verrez que ce point est situé à une distance de 4 segments unitaires du point de référence 0. Il s'ensuit que la longueur du segment OA est égale à quatre unités. Dans ce cas, la longueur du segment OA, c'est-à-dire le nombre 4, sera le module du nombre -4.

Dans ce cas, le module d'un nombre est noté et écrit ainsi : |−4| = 4.

Prenons maintenant et désignons le point B sur la ligne de coordonnées.

Ce point B correspondra au nombre +2, et, comme on le voit, il est situé à une distance de deux segments unitaires de l'origine. Il en résulte que la longueur du segment OB est égale à deux unités. Dans ce cas, le nombre 2 sera le module du nombre +2.

Dans l'enregistrement, cela ressemblera à ceci : |+2| = 2 ou |2| = 2.

Maintenant, résumons. Si nous prenons un nombre inconnu a et le désignons sur la ligne de coordonnées comme point A, alors dans ce cas la distance du point A à l'origine, c'est-à-dire la longueur du segment OA, est précisément le module du nombre « a ».

Par écrit, cela ressemblera à ceci : |a| = OA.

Le module d'un nombre et ses propriétés

Essayons maintenant de mettre en évidence les propriétés du module, considérons tous les cas possibles et écrivons-les en utilisant des expressions littérales :

Premièrement, le module d'un nombre est un nombre non négatif, ce qui signifie que le module d'un nombre positif est égal au nombre lui-même : |a| = une, si une > 0 ;

Deuxièmement, les modules constitués de nombres opposés sont égaux : |a| = |–une|. Autrement dit, cette propriété nous indique que les nombres opposés ont toujours des modules égaux, tout comme sur une ligne de coordonnées, même s'ils ont des nombres opposés, ils sont à la même distance du point de référence. Il s'ensuit que les modules de ces nombres opposés sont égaux.

Troisièmement, le module de zéro est égal à zéro si ce nombre est nul : |0| = 0 si a = 0. Ici on peut dire avec certitude que le module de zéro est nul par définition, puisqu'il correspond à l'origine de la ligne de coordonnées.

La quatrième propriété d'un module est que le module du produit de deux nombres est égal au produit des modules de ces nombres. Examinons maintenant de plus près ce que cela signifie. Si nous suivons la définition, alors vous et moi savons que le module du produit des nombres a et b sera égal à a b, ou −(a b), si a b ≥ 0, ou – (a b), si a b est supérieur à 0. B enregistrant cela ressemblera à ceci : |a b| = |une| |b|.

La cinquième propriété est que le module du quotient des nombres est égal au rapport des modules de ces nombres : |a : b| = |une| : |b|.

Et les propriétés suivantes du module number :

Résoudre des équations et des inégalités impliquant le module d'un nombre

Lorsque vous commencez à résoudre des problèmes qui ont un module numérique, vous devez vous rappeler que pour résoudre un tel problème, il est nécessaire de révéler le signe du module en utilisant la connaissance des propriétés auxquelles ce problème correspond.

Exercice 1

Ainsi, par exemple, si sous le signe module se trouve une expression qui dépend d'une variable, alors le module doit être développé conformément à la définition :

Bien entendu, lors de la résolution de problèmes, il existe des cas où le module est révélé de manière unique. Si par exemple on prend

, nous voyons ici qu'une telle expression sous le signe du module est non négative pour toutes les valeurs de x et y.

Ou, par exemple, prenons

, nous voyons que cette expression de module n'est positive pour aucune valeur de z.

Tâche 2

Une ligne de coordonnées s'affiche devant vous. Sur cette ligne il faut marquer les nombres dont le module sera égal à 2.

Solution

Tout d’abord, nous devons tracer une ligne de coordonnées. Vous savez déjà que pour ce faire, vous devez d'abord sélectionner sur la ligne droite l'origine, la direction et le segment unitaire. Ensuite, nous devons placer des points à partir de l’origine qui sont égaux à la distance de deux segments unitaires.

Comme vous pouvez le voir, il y a deux de ces points sur la ligne de coordonnées, dont l'un correspond au chiffre -2 et l'autre au chiffre 2.

Informations historiques sur le module des nombres

Le terme « module » vient du nom latin modulus, qui signifie « mesure ». Ce terme a été inventé par le mathématicien anglais Roger Cotes. Mais le signe du module a été introduit grâce au mathématicien allemand Karl Weierstrass. Lorsqu'il est écrit, un module est désigné par le symbole suivant : | |.

Questions pour consolider la connaissance de la matière

Dans la leçon d'aujourd'hui, nous nous sommes familiarisés avec un concept tel que le module d'un nombre, et vérifions maintenant comment vous maîtrisez ce sujet en répondant aux questions posées :

1. Quel est le nom du nombre qui est l’opposé d’un nombre positif ?
2. Quel est le nom du nombre qui est l’opposé d’un nombre négatif ?
3. Nommez le nombre qui est l’opposé de zéro. Un tel numéro existe-t-il ?
4. Nommez un nombre qui ne peut pas être un module d'un nombre.
5. Définissez le module d'un nombre.

Devoirs

1. Devant vous se trouvent des numéros que vous devez disposer par ordre décroissant de modules. Si vous terminez la tâche correctement, vous découvrirez le nom de la personne qui a introduit pour la première fois le terme « module » en mathématiques.

2. Tracez une ligne de coordonnées et trouvez la distance entre M (-5) et K (8) jusqu'à l'origine.

Responsable du ShMO
professeurs de mathématiques _______Kalachnikova Zh.YuÉtablissement d'enseignement budgétaire municipal
"École secondaire n°89"
Tests thématiques en mathématiques pour les classes de 6e
d'après le manuel de I.I. Zubareva et A.G. Mordkovitch
Compilé par : professeurs de mathématiques :
Kalachnikova Zhanna Yurievna
Stolbova Lyudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
Contenu
Essai n°1………………………………………………………………………………….3-6
Essai n°2……………………………………………………………………………………….7-10
Essai n°3………………………………………………………………………………………………………….11-14
Réponses…………………………………………………………………………………………………………..15
Test n°1 « Nombres positifs et négatifs »
Option 1
Entrez un nombre fractionnaire négatif :
-165
38
-7.92
67Décrivez l'événement « Le nombre -5,5 est marqué sur le rayon de coordonnées »
Fiable
Impossible
Aléatoire

Lequel des quatre nombres est le plus grand ?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Quel point se trouve sur la ligne de coordonnées à droite du point O (0) ?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1,2)
La nuit, la température de l'air était de -5°C. Pendant la journée, le thermomètre affichait déjà +3 °C. Comment la température de l’air a-t-elle changé ?
Augmenté de 8o
Diminué de 2o
Augmenté de 2o
Diminué de 8o
Le point x(-2) est marqué sur la ligne de coordonnées – le centre de symétrie. Indiquez les coordonnées des points situés sur cette ligne symétriquement au point x.

(-1) et (1)
(-1) et (1)
(3) et (-3)
(0) et (-4)
Quels points sur la ligne de coordonnées ne sont pas symétriques par rapport à l'origine - point O (0).
B(-5) et C(5)
D(0,5) et E(-0,5)
M(-3) et K(13)
A(18) et X(-18)
Quelle est la somme des nombres 0,316+0,4 ?
0,356
0,716
4,316
0,32
Calculez 25 % du nombre 0,4.
0,1
0,001
10
100
Calculez la différence de 9100 et 0,03
0,05
0,6
9,03
350Option 2
Entrez un nombre fractionnaire négatif.
8,63
-1045
913-0,2
Décrivez l'événement « Le chiffre 7 est marqué sur le rayon de coordonnées. »
Aléatoire
Impossible
Fiable
Quel nombre est le plus petit ?
15,49
154,9
1,549
1549
Lequel des points est situé sur la ligne de coordonnées à gauche du point O(0).
A(-0,5)
À 6)
M(0,5)
K(38)
Pendant la journée, le thermomètre indiquait +5°C et le soir -2°C. Comment la température de l’air a-t-elle changé ?
Augmenté de 3o
Diminué de 7o
Diminué de 3o
Augmenté de 7o
Le centre de symétrie est marqué sur la ligne de coordonnées - point A(-3). Indiquez les coordonnées des points situés sur cette ligne symétriquement au point A.

(-2) et (2)
(0) et (-5)
(-6) et (1)
(-1) et (-5)
Quels points de la ligne de coordonnées ne sont pas symétriques par rapport à l'origine - point O(0).
A(6) et B(-6)
C(12) et D(-2)
M(-1) et K(1)
X (-9) et Y (9)
Quelle est la somme des nombres 0,237 et 0,3 ?
0,24
3,237
0,537
0,267
Calculez 20 % de 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Calculez la différence de 0,07 et 31001250,5
1
425Essai n°2. La valeur absolue d'un nombre. Numéros opposés.
Option 1
Lequel des nombres donnés a le plus petit module
-11
1013-4,196
-4,2
Spécifiez une équation incorrecte
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Le module d'un nombre non négatif est un nombre non négatif. Cette affirmation est-elle vraie ?
Oui
Non
Lequel de ces nombres est opposé au nombre -34 ?43-43-3434Quelle est la valeur de l'expression -(-m) si m = -15
+15
-15
Calculez la valeur de l'expression : -2,5∙4--919
-10
1
-1
Résolvez l'équation : x=40-40
40
40 ou -40
Quels nombres entiers se trouvent sur la ligne de coordonnées entre les nombres 2,75 et 3,9 ?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
L'inégalité -30>-50 est-elle vraie ?
Non
Liste tous les entiers x si x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Option 2
Quel nombre a le plus grand module ?
-0,6
-50,603
493550,530
Spécifiez une équation incorrecte
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Le module d'un nombre négatif peut-il être un nombre négatif
Oui
Non

Lequel de ces nombres est l’opposé de 124 ?
-24
24
-124124Quelle est la valeur de l'expression –(-k), si k = -9
-9
+9
Calculez la valeur de l'expression : 2,5 : -0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Résoudre l'équation x=100100
-100
100 ou -100
Quels entiers se trouvent sur la ligne de coordonnées entre les nombres 1 et - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
L'inégalité -25 est-elle vraie ?<-10?
Oui
Non
Liste tous les entiers x si x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Essai n°3. Comparaison des nombres
Option 1
Laquelle des inégalités est fausse ?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
Est-il vrai que le nombre 0 est supérieur à n’importe quel nombre négatif ?
Oui
Non
Le nombre a est non négatif. Comment pouvons-nous écrire cet énoncé comme une inégalité ?
un<0a≤0a≥0a>0Indiquez le plus grand des nombres donnés.
0,16
-3018-0,4
0,01
Pour quelles valeurs naturelles de x l'inégalité x≤44, 3, 2 est-elle vraie ?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Pour quelles valeurs entières de y l'inégalité y est-elle vraie ?<-2?0
-1
0, -1, 1
Pas de telles valeurs
Chiffres -6 ; -3,8 ; -115 ; 0.8 situé :
Par ordre décroissant
Par ordre croissant
En désordre
La météo a été diffusée à la radio : la température devrait descendre jusqu'à -20 °C. Décrivez cet événement :
Impossible
Fiable
Aléatoire
Option 2
Laquelle des inégalités est vraie ?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Quel signe faut-il écrire entre ces fractions pour que l'inégalité soit vraie ?
-1315 -715<
>
=
Est-il vrai que le nombre 0 est inférieur à n’importe quel nombre négatif ?
Oui
Non
Le nombre x n'est pas supérieur à zéro. Comment pouvons-nous écrire cet énoncé comme une inégalité ?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35Pour quelles valeurs naturelles de a l’inégalité a≤3 est-elle vraie ?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Pour quelles valeurs entières de m l'inégalité m est-elle vraie ?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Pas de telles valeurs
Numéros 1,2 ; -1,2 ; -427 ; -100 localisé :
En désordre
Par ordre croissant
Par ordre décroissant
Le point A(5) est marqué sur la ligne de coordonnées. Un autre point B a été marqué au hasard sur cette ligne. Sa coordonnée s'est avérée être le nombre opposé à 5. Décrivez cet événement.
Aléatoire
Fiable
Impossible
Réponses
Essai n°1 Essai n°2
N° Option 1 Option 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
N° Option 1 Option 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Essai n°3
N° Option 1 Option 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3

Aujourd’hui, mes amis, il n’y aura ni morve ni sentimentalité. Au lieu de cela, je vous enverrai, sans poser de questions, au combat avec l'un des adversaires les plus redoutables du cours d'algèbre de 8e à 9e années.

Oui, vous avez tout bien compris : nous parlons d'inégalités avec module. Nous examinerons quatre techniques de base avec lesquelles vous apprendrez à résoudre environ 90 % de ces problèmes. Et les 10 % restants ? Eh bien, nous en parlerons dans une leçon séparée :)

Cependant, avant d’analyser l’une des techniques, je voudrais vous rappeler deux faits que vous devez déjà connaître. Sinon, vous risquez de ne pas comprendre du tout le contenu de la leçon d’aujourd’hui.

Ce que vous devez déjà savoir

Captain Obviousness semble laisser entendre que pour résoudre des inégalités avec module, vous devez savoir deux choses :

1. Comment les inégalités sont résolues ;
2. Qu'est-ce qu'un module ?

Commençons par le deuxième point.

Définition du module

Tout est simple ici. Il existe deux définitions : algébrique et graphique. Pour commencer - algébrique :

Définition. Le module d'un nombre $x$ est soit le nombre lui-même, s'il est non négatif, soit le nombre qui lui est opposé, si le $x$ d'origine est toujours négatif.

C'est écrit ainsi :

\[\gauche| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En termes simples, un module est un « nombre sans moins ». Et c’est dans cette dualité (à certains endroits, il n’est pas nécessaire de faire quoi que ce soit avec le numéro d’origine, mais à d’autres, il faut supprimer une sorte de moins) et c’est là que réside toute la difficulté pour les étudiants débutants.

Il existe également une définition géométrique. Il est également utile de le savoir, mais nous n'y reviendrons que dans des cas complexes et particuliers, où l'approche géométrique est plus pratique que l'approche algébrique (spoiler : pas aujourd'hui).

Définition. Soit le point $a$ sur la droite numérique. Puis le module $\left| x-a \right|$ est la distance du point $x$ au point $a$ sur cette ligne.

Si vous faites un dessin, vous obtiendrez quelque chose comme ceci :

D'une manière ou d'une autre, de la définition d'un module sa propriété clé découle immédiatement : le module d'un nombre est toujours une quantité non négative. Ce fait constituera le fil rouge qui parcourra tout notre récit d’aujourd’hui.

Résoudre les inégalités. Méthode d'intervalle

Examinons maintenant les inégalités. Il y en a un grand nombre, mais notre tâche est maintenant de pouvoir résoudre au moins le plus simple d'entre eux. Celles qui se réduisent aux inégalités linéaires, ainsi qu'à la méthode des intervalles.

J'ai deux grandes leçons sur ce sujet (d'ailleurs, très, TRÈS utiles - je recommande de les étudier) :

1. Méthode d'intervalle pour les inégalités(surtout regarder la vidéo) ;
2. Inégalités rationnelles fractionnaires- une leçon très volumineuse, mais après elle vous n'aurez plus aucune question.

Si vous savez tout cela, si l'expression « passons de l'inégalité à l'équation » ne vous donne pas une vague envie de vous cogner contre le mur, alors vous êtes prêt : bienvenue en enfer dans le sujet principal de la leçon :)

1. Inégalités de la forme « Le module est inférieur à la fonction »

C'est l'un des problèmes les plus courants avec les modules. Il faut résoudre une inégalité de la forme :

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Les fonctions $f$ et $g$ peuvent être n'importe quoi, mais ce sont généralement des polynômes. Exemples de telles inégalités :

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \droite| \ltx+7; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\gauche| x \droite|-3 \droite| \lt 2. \\\fin(aligner)\]

Tous peuvent être résolus littéralement en une seule ligne selon le schéma suivant :

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droit.\droit)\]

Il est facile de voir qu'on se débarrasse du module, mais en retour on obtient une double inégalité (ou, ce qui revient au même, un système de deux inégalités). Mais cette transition prend en compte absolument tous les problèmes possibles : si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; si négatif, cela fonctionne toujours ; et même avec la fonction la plus inadéquate à la place de $f$ ou $g$, la méthode fonctionnera toujours.

Naturellement, la question se pose : ne pourrait-il pas être plus simple ? Malheureusement, ce n'est pas possible. C’est tout l’intérêt du module.

Cependant, assez de philosopher. Résolvons quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 2x+3 \droite| \ltx+7\]

Solution. Nous avons donc devant nous une inégalité classique de la forme « le module est moindre » - il n'y a même rien à transformer. Nous travaillons selon l'algorithme :

\[\begin(align) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3 \droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ne vous précipitez pas pour ouvrir les parenthèses précédées d'un « moins » : il est fort possible qu'en raison de votre précipitation vous commettiez une erreur offensante.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Le problème se réduisait à deux inégalités élémentaires. Notons leurs solutions sur des droites numériques parallèles :

Intersection de plusieurs

L’intersection de ces ensembles sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solution. Cette tâche est un peu plus difficile. Tout d’abord, isolons le module en déplaçant le deuxième terme vers la droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Evidemment, on a encore une inégalité de la forme « le module est plus petit », on se débarrasse donc du module en utilisant l'algorithme déjà connu :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Maintenant attention : quelqu'un va dire que je suis un peu pervers avec toutes ces parenthèses. Mais permettez-moi de vous rappeler une fois de plus que notre objectif principal est résoudre correctement l'inégalité et obtenir la réponse. Plus tard, lorsque vous maîtriserez parfaitement tout ce qui est décrit dans cette leçon, vous pourrez le pervertir vous-même à votre guise : ouvrir des parenthèses, ajouter des moins, etc.

Pour commencer, on va simplement supprimer le double moins à gauche :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1 \droite)\]

Ouvrons maintenant toutes les parenthèses dans la double inégalité :

Passons à la double inégalité. Cette fois les calculs seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\right.\]

Les deux inégalités sont quadratiques et peuvent être résolues par la méthode des intervalles (c'est pourquoi je dis : si vous ne savez pas ce que c'est, il vaut mieux ne pas encore aborder les modules). Passons à l'équation de la première inégalité :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\gauche(x+5 \droite)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une équation quadratique incomplète, qui peut être résolue de manière élémentaire. Examinons maintenant la deuxième inégalité du système. Là, vous devrez appliquer le théorème de Vieta :

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fin (aligner)\]

On marque les nombres résultants sur deux droites parallèles (séparées pour la première inégalité et séparées pour la seconde) :

Encore une fois, puisque nous résolvons un système d'inégalités, nous nous intéressons à l'intersection des ensembles ombrés : $x\in \left(-5;-2 \right)$. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après ces exemples, le schéma de solution est extrêmement clair :

1. Isolez le module en déplaçant tous les autres termes du côté opposé de l’inégalité. On obtient donc une inégalité de la forme $\left| f\droit| \ltg$.
2. Résolvez cette inégalité en supprimant le module selon le schéma décrit ci-dessus. À un moment donné, il faudra passer d’une double inégalité à un système de deux expressions indépendantes, dont chacune peut déjà être résolue séparément.
3. Finalement, il ne reste plus qu'à recouper les solutions de ces deux expressions indépendantes - et c'est tout, nous obtiendrons la réponse finale.

Un algorithme similaire existe pour les inégalités du type suivant, lorsque le module est supérieur à la fonction. Il y a cependant quelques « mais » sérieux. Nous allons parler de ces « mais » maintenant.

2. Inégalités de la forme « Le module est supérieur à la fonction »

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gtg\]

Similaire au précédent ? Il semble. Et pourtant, ces problèmes sont résolus d’une manière complètement différente. Formellement, le schéma est le suivant :

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Autrement dit, nous considérons deux cas :

1. Premièrement, nous ignorons simplement le module et résolvons l'inégalité habituelle ;
2. Ensuite, en substance, nous développons le module avec le signe moins, puis multiplions les deux côtés de l'inégalité par −1, pendant que j'ai le signe.

Dans ce cas, les options sont combinées avec un crochet, c'est-à-dire Nous avons devant nous une combinaison de deux exigences.

Attention encore : ceci n'est pas un système, mais une totalité, donc dans la réponse, les ensembles sont combinés plutôt que se croisant. C’est une différence fondamentale par rapport au point précédent !

En général, de nombreux étudiants sont complètement confus avec les syndicats et les intersections, alors réglons ce problème une fois pour toutes :

• "∪" est un signe d'union. En fait, il s'agit d'une lettre stylisée « U », qui nous vient de la langue anglaise et est l'abréviation de « Union », c'est-à-dire "Les associations".
• "∩" est le signe d'intersection. Cette connerie ne vient de nulle part, mais est simplement apparue comme un contrepoint au « ∪ ».

Pour que ce soit encore plus facile à retenir, il suffit de dessiner des jambes vers ces panneaux pour fabriquer des lunettes (ne m'accusez pas maintenant de promouvoir la toxicomanie et l'alcoolisme : si vous étudiez sérieusement cette leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Traduit en russe, cela signifie ce qui suit : l'union (la totalité) comprend des éléments des deux ensembles, elle n'est donc en rien inférieure à chacun d'eux ; mais l'intersection (le système) ne comprend que les éléments qui se trouvent simultanément dans le premier ensemble et dans le second. Par conséquent, l’intersection des ensembles n’est jamais plus grande que les ensembles sources.

Alors c'est devenu plus clair ? C'est super. Passons à la pratique.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\]

Solution. On procède selon le schéma :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ droite.\]

Nous résolvons chaque inégalité dans la population :

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Nous marquons chaque ensemble résultant sur la droite numérique, puis les combinons :

Union d'ensembles

Il est bien évident que la réponse sera $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Réponse : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Solution. Bien? Rien, tout est pareil. On passe d'une inégalité avec un module à un ensemble de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fin (aligner) \right.\]

Nous résolvons toutes les inégalités. Malheureusement, les racines n'y seront pas très bonnes :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13 ; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fin (aligner)\]

La deuxième inégalité est également un peu farfelue :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21 ; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fin (aligner)\]

Vous devez maintenant marquer ces nombres sur deux axes – un axe pour chaque inégalité. Cependant, vous devez marquer les points dans le bon ordre : plus le nombre est grand, plus le point se déplace vers la droite.

Et ici, une configuration nous attend. Si tout est clair avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (les termes au numérateur du premier fraction sont inférieurs aux termes du numérateur de la seconde, donc la somme est également inférieure), avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ il n'y aura pas non plus de difficultés (nombre positif évidemment plus négatif), alors avec les derniers couples tout n'est pas si clair. Quel est le plus grand : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? Le placement des points sur les droites numériques et, en fait, la réponse dépendront de la réponse à cette question.

Alors comparons :

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons isolé la racine, obtenu des nombres non négatifs des deux côtés de l'inégalité, nous avons donc le droit de mettre les deux côtés au carré :

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense que c'est une évidence que $4\sqrt(13) \gt 3$, donc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, les points finaux sur les axes seront placés comme ceci :

Un cas de racines laides

Permettez-moi de vous rappeler que nous résolvons un ensemble, la réponse sera donc une union, pas une intersection d'ensembles ombrés.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Comme vous pouvez le constater, notre système fonctionne très bien pour les problèmes simples comme pour les problèmes très difficiles. Le seul « point faible » de cette approche est qu’il faut comparer correctement les nombres irrationnels (et croyez-moi : ce ne sont pas que des racines). Mais une leçon distincte (et très sérieuse) sera consacrée aux questions de comparaison. Et nous passons à autre chose.

3. Inégalités avec des « queues » non négatives

Passons maintenant à la partie la plus intéressante. Ce sont des inégalités de la forme :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

D'une manière générale, l'algorithme dont nous allons parler maintenant n'est correct que pour le module. Cela fonctionne dans toutes les inégalités où il y a des expressions garanties non négatives à gauche et à droite :

Que faire de ces tâches ? Rappelez-vous juste:

Dans les inégalités avec des « queues » non négatives, les deux côtés peuvent être élevés à n’importe quelle puissance naturelle. Il n’y aura aucune restriction supplémentaire.

Tout d'abord, nous nous intéresserons à la quadrature - elle brûle les modules et les racines :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fin (aligner)\]

Ne confondez pas cela avec la racine d’un carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\gauche| f \right|\ne f\]

D’innombrables erreurs ont été commises lorsqu’un étudiant a oublié d’installer un module ! Mais c'est une histoire complètement différente (ce sont pour ainsi dire des équations irrationnelles), nous n'entrerons donc pas dans les détails maintenant. Résolvons mieux quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite|\ge \gauche| 1-2x \droite|\]

Solution. Remarquons immédiatement deux choses :

1. Il ne s’agit pas d’une inégalité stricte. Les points sur la droite numérique seront perforés.
2. Les deux côtés de l'inégalité sont évidemment non négatifs (c'est une propriété du module : $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Par conséquent, nous pouvons mettre au carré les deux côtés de l’inégalité pour nous débarrasser du module et résoudre le problème en utilisant la méthode habituelle des intervalles :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

A la dernière étape, j'ai un peu triché : j'ai changé la séquence des termes, profitant de la régularité du module (en fait, j'ai multiplié l'expression $1-2x$ par −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ droite)\droite)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'équation :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

Nous marquons les racines trouvées sur la droite numérique. Encore une fois : tous les points sont ombrés car l’inégalité originelle n’est pas stricte !

Se débarrasser du signe du module

Je vous le rappelle pour les plus têtus : on reprend les signes de la dernière inégalité, qui a été notée avant de passer à l'équation. Et nous peignons les zones requises dans la même inégalité. Dans notre cas, il s'agit de $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, c'est fini maintenant. Le problème est résolu.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \droite|\]

Solution. Nous faisons tout pareil. Je ne ferai pas de commentaire - regardez simplement la séquence d'actions.

Mettez-le au carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \droite|\droite))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ à droite))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'intervalle :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x=-1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il n’y a qu’une seule racine sur la droite numérique :

La réponse est tout un intervalle

Réponse : $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Une petite note sur la dernière tâche. Comme l'un de mes étudiants l'a noté avec précision, les deux expressions sous-modulaires de cette inégalité sont évidemment positives, de sorte que le signe du module peut être omis sans nuire à la santé.

Mais il s’agit d’un niveau de pensée complètement différent et d’une approche différente - on peut conditionnellement l’appeler la méthode des conséquences. À ce sujet - dans une leçon séparée. Passons maintenant à la dernière partie de la leçon d’aujourd’hui et examinons un algorithme universel qui fonctionne toujours. Même lorsque toutes les approches précédentes étaient impuissantes :)

4. Méthode d'énumération des options

Et si toutes ces techniques n’aidaient pas ? Si l'inégalité ne peut être réduite à des queues non négatives, s'il est impossible d'isoler le module, si en général il y a de la douleur, de la tristesse, de la mélancolie ?

C’est alors que « l’artillerie lourde » de toutes les mathématiques entre en scène : la méthode de la force brute. Par rapport aux inégalités de module, cela ressemble à ceci :

1. Écrivez toutes les expressions sous-modulaires et définissez-les égales à zéro ;
2. Résolvez les équations résultantes et marquez les racines trouvées sur une droite numérique ;
3. La ligne droite sera divisée en plusieurs sections, à l'intérieur desquelles chaque module aura un signe fixe et sera donc révélé de manière unique ;
4. Résolvez l'inégalité sur chacune de ces sections (vous pouvez considérer séparément les racines-limites obtenues à l'étape 2 - pour des raisons de fiabilité). Combinez les résultats - ce sera la réponse :)

Alors comment ? Faible? Facilement! Seulement pour longtemps. Voyons en pratique :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite| \lt \gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solution. Cette merde ne se résume pas à des inégalités comme $\left| f\droit| \lt g$, $\gauche| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt \gauche| g \right|$, donc nous agissons en avant.

Nous écrivons des expressions sous-modulaires, les assimilons à zéro et trouvons les racines :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\fin (aligner)\]

Au total, nous avons deux racines qui divisent la droite numérique en trois sections, au sein desquelles chaque module se révèle de manière unique :

Partitionnement de la droite numérique par des zéros de fonctions sous-modulaires

Examinons chaque section séparément.

1. Soit $x \lt -2$. Alors les deux expressions sous-modulaires sont négatives et l’inégalité d’origine sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nous avons une limitation assez simple. Recoupons-le avec l'hypothèse initiale selon laquelle $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Évidemment, la variable $x$ ne peut pas être simultanément inférieure à −2 et supérieure à 1,5. Il n'y a pas de solutions dans ce domaine.

1.1. Considérons séparément le cas limite : $x=-2$. Remplaçons simplement ce nombre dans l'inégalité d'origine et vérifions : est-ce vrai ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \gauche| -3\droite|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il est évident que l’enchaînement des calculs nous a conduit à une inégalité incorrecte. Par conséquent, l'inégalité d'origine est également fausse et $x=-2$ n'est pas inclus dans la réponse.

2. Soit maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module de gauche s'ouvrira déjà avec un « plus », mais celui de droite s'ouvrira toujours avec un « moins ». Nous avons:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fin(aligner)\]

Encore une fois, nous rejoignons l’exigence initiale :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Et encore une fois, l’ensemble des solutions est vide, puisqu’il n’existe pas de nombres à la fois inférieurs à −2,5 et supérieurs à −2.

2.1. Et encore un cas particulier : $x=1$. On substitue à l'inégalité originelle :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt \gauche| 0\droite|+1-1.5 ; \\ & 3 \lt -0,5 ; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Semblable au « cas particulier » précédent, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans la réponse.

3. Le dernier morceau de la ligne : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont ouverts avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Et encore une fois, nous croisons l'ensemble trouvé avec la contrainte d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Enfin! Nous avons trouvé un intervalle qui sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Enfin, une remarque qui vous évitera peut-être des erreurs stupides lors de la résolution de problèmes réels :

Les solutions aux inégalités avec modules représentent généralement des ensembles continus sur la droite numérique - intervalles et segments. Les points isolés sont beaucoup moins fréquents. Et encore moins souvent, il arrive que la limite de la solution (la fin du segment) coïncide avec la limite de la plage considérée.

Par conséquent, si les limites (les mêmes « cas particuliers ») ne sont pas incluses dans la réponse, alors les zones situées à gauche et à droite de ces limites ne seront presque certainement pas incluses dans la réponse. Et vice versa : la frontière est entrée dans la réponse, ce qui signifie que certaines zones autour d'elle seront également des réponses.

Gardez cela à l’esprit lorsque vous examinez vos solutions.